[LC]2140.解决智力问题

题目

给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 questions ，其中 questions[i] = [pointsi, brainpoweri] 。

这个数组表示一场考试里的一系列题目，你需要 按顺序 （也就是从问题 0 开始依次解决），针对每个问题选择 解决 或者 跳过 操作。解决问题 i 将让你 获得 pointsi 的分数，但是你将 无法 解决接下来的 brainpoweri 个问题（即只能跳过接下来的 brainpoweri 个问题）。如果你跳过问题 i ，你可以对下一个问题决定使用哪种操作。

比方说，给你

questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]]

• 如果问题 0 被解决了， 那么你可以获得 3 分，但你不能解决问题 1 和 2 。
• 如果你跳过问题 0 ，且解决问题 1 ，你将获得 4 分但是不能解决问题 2 和 3 。

请你返回这场考试里你能获得的 最高 分数。

分析

考虑用$dp[i]$表示解决前$i$道题目可以获得的最高分数，此时有两种情况：

• 如果不解决第$i$道题目，那么$dp[i] = dp[i - 1]$.
• 如果解决第$i$道题目，那么$dp[i] = points[i] + max(0, max_{0 \leq j < i, j + brainpower[j] < i}{dp[j]})$.

时间复杂度为$O(n^2)$.

后效性

对于每一道题目，解决与否不会影响前面的题目，因此可以考虑反方向定义状态，即$dp[i]$表示解决第$i$道题目及以后的题目可以获得的最高分数，那么有状态转移方程：

• 如果不解决第$i$道题目，那么$dp[i] = dp[i + 1]$.
• 如果解决第$i$道题目，那么$dp[i] = points[i] + dp[i + brainpower[i] + 1]$.

注意，需要考虑数组越界的问题，如果越界，那么$dp[i] = 0, i >= n$.

代码

class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        int n = questions.size();
        auto dp = vector<unsigned long long>(n + 1, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            dp[i] = max(dp[i + 1], questions[i][0] + dp[min(n, i + questions[i][1] + 1)]);
        }
        return dp[0];
    }
};

时间复杂度: $O(n)$.

空间复杂度:$O(n)$.